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L’équation de la normale en ce point sera, comme l’on sait,

$y-y'=-{\frac {y'}{p}}(x-x').$

Si l’on désigne par $t$ la tangente tabulaire de l’angle constant que fait l’oblique avec la normale en chacun des points de la courbe, et par $T$ la tangente tabulaire de l’angle variable que fait cette même oblique avec l’axe des $x$, on aura

${\frac {-{\frac {y'}{p}}-T}{1-T{\frac {y'}{p}}}}=t\,;\quad$d’où$\quad T={\frac {pt+y'}{ty'-p}}\,;$

de sorte que l’équation de l’oblique sera

$y-y'={\frac {pt+y'}{ty'-p}}(x-x').\qquad$(3)

Soit $(\alpha ,\beta )$ un point par lequel cette oblique doive passer, on aura

$\beta -y'={\frac {pt+y'}{ty'-p}}(\alpha -x')\,;\qquad$(4)

de sorte que l’équation

$(ty-p)(y-\beta )-(pt+y)(x-\alpha )=0,\qquad$(5)

sera celle d’une courbe coupant la proposée (1) en tous les points où elle est rencontrée par les obliques issues du point $(\alpha ,\beta ),$ sous les conditions données.

On pourrait présentement achever le calcul comme dans les exemples précédens ; mais ici, où, dans l’équation (1), $x$ ne se trouve qu’à la première puissance, il est plus court d’en tirer la valeur pour la substituer dans cette dernière, ce qui conduira à l’équation suivante, du troisième degré en $y$,