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$4\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)-r^{2}=3y'^{2},$

et, par suite,

$\left\{4\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27y'^{6}\,;$

mais, de la valeur de $\beta ,$ on tire

$y'^{6}=r^{4}\beta ^{2}\,;$

ce qui donne, en substituant,

$\left\{4\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27r^{4}\beta ^{2}\,;$

ou bien, en changeant respectivement $\alpha$ et $\beta$ en $x$ et $y,$

$\left\{4\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{3}=27r^{4}y^{2}\,;$

équation exactement la même que celle qui a été trouvée par M. de St.-Laurent, à la pag. 18 du xvii.^me volume du présent recueil, pour celle de la caustique par réflexion dans le cercle, et de laquelle on tirera les mêmes conséquences.

La théorie des racines égales peut quelquefois simplifier les recherches qui nous occupent. Pour en donner un exemple, cherchons à quelle courbe sont tangentes les droites menées par tous les points d’une parabole, de manière à faire, dans le même sens, des angles constans avec les normales en ces mêmes points. Soit l’équation de la parabole dont il s’agit

$y^{2}=2px,\qquad$(1)

on aura, pour un quelconque $(x',y')$ de ses points,

$y'^{2}=2px',\qquad$(2)