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$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.$

Pour deuxième application nous choisirons une classe de développées obliques dont l’étude est indispensable au physicien ; savoir : les caustiques par réflexion.

Nous supposerons que des rayons de lumière parallèles à une droite fixe, tracée sur le plan d’un cercle, viennent rencontrer la circonférence de ce cercle, contre laquelle ils se réfléchissent en faisant un angle de réflexion égal à l’angle d’incidence ; et nous chercherons à quelle courbe les rayons ainsi réfléchis sont tangens.

Soit $r$ le rayon du cercle réflecteur, plaçons à son centre l’origine des coordonnées rectangulaires en dirigeant l’axe des $x$ parallèlement à la direction commune des rayons incidens. En prenant $(x',y')$ pour un point incident quelconque, nous aurons

$x'^{2}+y'^{2}=r^{2},\qquad$(2)

On trouvera aisément ensuite, pour l’équation du rayon réfléchi qui répond à ce point,

$(x'^{2}-y'^{2})(y-y')=2x'y'(x-x')\,;$

ou bien, en simplifiant, au moyen de la relation (2)

$2x'y'x-(x'^{2}-y'^{2})y=r^{2}y'.\qquad$(3)

Si l’on veut que ce rayon réfléchi passe par un point donné $(\alpha ,\beta ),$ on devra avoir

$2\alpha x'y'-\beta (x'^{2}-y'^{2})=r^{2}y'\,;\qquad$(4)

de sorte que l’équation