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équations qui donneront $\alpha$ et $\beta$ en $x'$ et $y',$ et réciproquement.

Mais la relation (4) donne

$c^{2}y'+b^{2}\beta ={\frac {a^{2}\alpha y'}{x'}},\qquad c^{2}x'-a^{2}\alpha ={\frac {b^{2}\beta x'}{y'}}\,;$

il viendra donc, en substituant,

${\frac {x'}{a^{2}}}=+{\frac {a^{2}\alpha }{c^{2}x'}},\qquad {\frac {y'}{b^{2}}}=-{\frac {b^{2}\beta }{c^{2}y'}}\,;$

équations plus simples desquelles on tire

$x'=a\left({\frac {a\alpha }{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}},\qquad y'=-b\left({\frac {b\beta }{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}\,;$

ce qui donnera, en substituant dans la relation (2), et réduisant,

$\left({\frac {a\alpha }{c^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {b\beta }{c^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}=1\,;$

équation connue de la développée de l’ellipse dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ sont les coordonnées courantes.

En changeant ces coordonnées en $x$ et $y$, et en posant en outre

$c^{2}=aa'=bb',$

$a'$ et $b'$ étant deux nouvelles longueurs, cette équation prend la forme

$\left({\frac {x}{a'}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b'}}\right)^{\frac {2}{3}}=1\,;$

ce qui offre un rapprochement remarquable entre l’équation de la développée d’une ellipse et celle de cette courbe qui peut être mise sous la forme