Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/257

Pour première application de ce procédé, cherchons l’équation de la développée de l’ellipse donnée par l’équation

$b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}.\qquad$(1)

L’équation de la normale à cette ellipse au point $(x',y')$ sera, comme l’on sait, en posant, pour abréger, $a^{2}-b^{2}=c^{2},$

$b^{2}x'y-a^{2}y'x+c^{2}x'y'=0,\qquad$(3)

sous la condition

$b^{2}x'^{2}+a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2}.\qquad$(2)

On exprimera que cette normale contient le point $(\alpha ,\beta )$ en écrivant

$b^{2}\beta x'-a^{2}\alpha y'+c^{2}x'y'=0\,;\qquad$(4)

de sorte que les pieds de toutes les normales issues du point $(\alpha ,\beta )$ seront les intersections de la courbe (1) avec la courbe donnée par l’équation

$b^{2}\beta x-a^{2}\alpha y+c^{2}xy=0.$

Les équations des tangentes à ces deux courbes au point $(x',y')$ sont

$b^{2}x'x+a^{2}y'y=a^{2}b^{2},$

$(c^{2}y'+b^{2}\beta )x+(c^{2}x'-a^{2}\alpha )y=c^{2}x'y',$

sous les conditions (2) et (4).

Pour exprimer que ces deux tangentes se confondent en une seule et même ligne droite, il faudra écrire

${\frac {x'}{a^{2}}}={\frac {c^{2}y'+b^{2}\beta }{c^{2}x'y'}},\qquad {\frac {y'}{b^{2}}}={\frac {c^{2}x'-a^{2}\alpha }{c^{2}x'y'}}\,;$