elle-même ; d’où il résulte que l’équation (4) est celle d’une certaine courbe qui coupe la proposée aux pieds de toutes les normales qui peuvent lui être menées du point
Si présentement deux de ces normales viennent à se confondre, d’après ce qui a été dit ci-dessus, le point deviendra un de ceux de la développée. Or, pour que ces deux normales se confondent en effet, il est nécessaire que deux des points d’intersection des courbes (2) et (4) se confondent en un seul, ou, ce qui revient au même que ces deux courbes se touchent et aient conséquemment la même tangente au point . Cherchant donc les équations des tangentes aux deux courbes
au point , et écrivant que ces deux tangentes se confondent, leur coïncidence entraînera deux conditions de la forme
lesquelles, comme nous l’ayons dit ci-dessus, donneront indistinctement et en ou en et Si, en particulier, on en tire les valeurs de et en et pour les substituer dans l’équation (2), l’équation résultante, en et sera l’équation cherchée de la développée de la courbe (1). On pourra d’ailleurs, chemin faisant, employer les relations (2) et (4) à simplifier les calculs et leurs résultats.
Voilà pour ce qui concerne les développées orthogonales. Si, au contraire, il s’agissait de développées obliques, il n’y aurait d’autre changement à faire dans le procédé que celui de remplacer l’équation (1) de la normale au point par celle d’une droite passant par le même point et faisant avec elle un angle égal à l’angle, constant ou variable, requis par les conditions du problème.
