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veloppée en ce point $(\alpha ,\beta )$ ; de sorte que l’un quelconque de ces deux points est nécessairement déterminé par l’autre.

Si l’on conçoit présentement que la normale fixe au point $(x',y'),$ devenue mobile, marche sur la courbe, en lui restant constamment normale, le point $(\alpha ,\beta )$ marchera sur elle, et décrira précisément la développée demandée. Il ne s’agit donc, pour obtenir l’équation de cette développée, que d’imiter, par l’analyse, cette construction mécanique.

Soit supposée

$\operatorname {F} (x,y)=0,\qquad$(1)

l’équation de la courbe dont il s’agit ; pour le point $(x',y')$ on aura

$\operatorname {F} (x',y')=0,\qquad$(2)

l’équation de la normale, en ce point, sera de la forme

$\operatorname {f} (x,y,x',y')=0.\qquad$(3)

Si l’on veut que cette normale passe par un point donné $(\alpha ,\beta ),$ on exprimera cette condition en écrivant

$\operatorname {f} (\alpha ,\beta ,x',y')=0\,;\qquad$(4)

équation qui, combinée avec l’équation (2), donnera les pieds $(x',y')$ de toutes les normales issues du point $(\alpha ,\beta ).$

Au lieu de résoudre les deux équations (2) et (4), par rapport à $x'$ et $y',$ on peut, dans l’une et dans l’autre, considérer ces deux coordonnées comme variables, et construire pour les mêmes axes, les deux courbes qu’elles expriment. Les intersections de ces deux courbes seront également les pieds $(x',y')$ de toutes les normales issues du point $(\alpha ,\beta ).$

Or, la première de ces deux courbes est la courbe proposée