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de sorte que le cercle qu’elle exprime a, respectivement, pour les coordonnées de son centre et pour son rayon,

$-{\frac {1}{2C}}.{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}},\quad -{\frac {1}{2C}}.{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}},\quad {\frac {1}{2C}}{\sqrt {\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}}}\,;$

en mettant donc pour $C$ sa valeur, et repassant au système primitif, au moyen des formules (5), le cercle dont trois points se confondent avec trois points de la courbe en $(x',y'),$ aura, pour les coordonnées de son centre,

$\left.{\begin{aligned}x=x'-{\frac {{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}}{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}}}\\\\y=y'-{\frac {{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}}{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}}}\,;\end{aligned}}\right\}$ (50)

et pour son rayon

$r={\frac {{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\left\{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}{\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}-2{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}+\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}}}.\qquad$ (51)

Ce cercle est ce qu’on appelle le cercle osculateur de la courbe au point $(x',y')\,;$ son centre et son rayon sont dits le centre et le rayon de courbure de cette même courbe, en ce même point. Nous allons voir tout à l’heure la raison de ces dénominations.

x. Pour abréger, désignons $\Omega$ le second membre de l’équation (4), et par $\Omega '$ ce que devient ce second membre, lors-