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$At+Bu+Cv=0,\qquad$(69)

dans laquelle il est permis de supposer, sans que le plan cesse d’être quelconque,

$B^{2}+C^{2}=1.\qquad$(70)

Ce plan déterminera, dans la surface (4), une section plane. Proposons-nous de déterminer le centre et le rayon de courbure de cette section pour celui des points de son périmètre qui répond à l’origine des coordonnées. D’après ce que nous avons déjà dit (pag. 24) sur les centres et rayons de courbure des courbes planes, il faudra pour cela concevoir deux normales à la section, la première par l’origine des $t,u,v,$, et la seconde par un autre point $(t',u',v')$ de son périmètre. Ces deux normales concourront en un point qui variera de position sur la première, à mesure que le point $(t',u',v')$ variera lui-même de position sur la courbe, et qui deviendra le centre de courbure cherché, lorsque ce point $(t',u',v')$ sera venu se confondre avec l’origine.

Les deux normales seront évidemment données par l’équation (69) combinée tour à tour avec celles de deux plans conduits par l’origine des $t,u,v$ et par le point $(t',u',v')$, perpendiculairement aux tangentes à la courbe en ces deux points ; et ces tangentes, à leur tour, seront données, en combinant tour à tour l’équation (69) avec celles des tangentes à la surface (4), en ces deux mêmes points.

Imitons, par le calcul, cette conception géométrique. D’abord, parce que le point $(x',y',z')$ est supposé un des points du périmètre de la section ; on doit avoir, à la fois,

$At'+Bu'+Cv'=0,\quad$(71)$\qquad \Omega '=0\,;\quad$(55)

$\Omega$ ayant la même signification que ci-dessus (viii), ce qui permettra de mettre l’équation (69) sous la forme

$A(t-t')+B(u-u')+C(v-v')=0.\qquad$(72)

Les plans tangens à la surface (4), en ces deux points, auront respectivement pour équations