tangentes en un même point de la surface (4) sont dirigées suivant des diamètres conjugués de ce point, considéré comme point de contact du plan tangent ; on a donc ce théorème :
Si un angle dièdre mobile et variable est constamment circonscrit a une surface courbe ; à mesure que l’angle, ouvrira, son arrête et la droite qui joindra les points de contact de ses deux faces, approcheront de plus en plus de la surface courbe y de laquelle elles deviendront enfin deux tangentes en un même point, lorsque l’angle dièdre sera devenu égal à deux angles droits ; et ces deux tangentes auront alors les directions de deux diamètres conjugués de leur point de concours, considéré comme point de contact de la surface courbe avec son plan tangent ; de sorte que la direction de l’une de ces tangentes étant déterminées à l’avance, celle de l’autre le sera aussi.
À raison de cette propriété, M. Ch. Dupin, qui en a fait le premier la remarque, a désigné un tel système de tangentes sous la dénomination de tangentes conjuguées ; d’où l’on voit que, non seulement, une surface courbe a, en chacun de ses points, une infinité de systèmes de deux tangentes conjuguées, mais qu’en outre il n’est aucune tangente à une surface courbe à laquelle il n’en réponde une autre comme conjugués de celle-là. On voit aussi que les directions de deux tangentes conjuguées rectangulaires ne sont autre chose que celles des deux diamètres principaux de leur point de concours, considère comme point de contact de la surface avec son plan tangent. À raison de cette propriété, les tangentes conjuguées de cette dernière sorte sont appelées des tangentes conjuguées principales.
Il est encore facile de conclure de tout cela, avec M. Ch. Dupin, que si, à une surface courbe quelconque, on circonscrit arbitrairement une surface développable, la tangente à la ligne de contact, en l’un quelconque de ses points, et la génératrice rectiligne de la surface développable qui répondra à ce point, seront deux tangentes conjuguées de la surface en ce même point.
ix. Soit conduit par l’origine des un plan arbitraire, ayant pour équation
