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et telle sera alors l’équation qu’il faudra combiner avec l’équation (58) pour avoir, par approximation, la droite intersection des deux plans. Ces deux équations donneront donc rigoureusement cette droite, lorsque le point $(t',u',v')$ sera venu se confondre avec l’origine des $t,u,v$. On voit, en effet, que les deux plans qui, déterminant cette droite, passant alors l’un et l’autre par l’origine, cette droite y passera elle-même ; et, comme l’un de ces plans est le plan tangent à l’origine, cette droite sera devenue elle-même, comme la droite (58), une tangente à la surface courbe en ce point.

Soient présentement $\alpha$ et $\alpha '\ \beta$ et $\beta ',\ \gamma$ et $\gamma '$ les angles que font ces deux droites avec les trois axes, de telle sorte qu’on ait

${\frac {t}{\operatorname {Cos} .\alpha }}={\frac {u}{\operatorname {Cos} .\beta }}={\frac {v}{\operatorname {Cos} .\gamma }},\quad$(62)

${\frac {t'}{\operatorname {Cos} .\alpha '}}={\frac {u'}{\operatorname {Cos} .\beta '}}={\frac {v'}{\operatorname {Cos} .\gamma '}}\,;\quad$(63)

il en résultera d’abord

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma =1,\quad$(64)

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+\operatorname {Cos} .^{2}\beta '+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '=1\,;\quad$(65)

ensuite, parce que ces droites sont dans la plan tsngent (53), on aura

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Cos} .\alpha +{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\operatorname {Cos} .\beta +{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\operatorname {Cos} .\gamma =0,\qquad$(66)

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}\operatorname {Cos} .\alpha '+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}\operatorname {Cos} .\beta '+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} z}}\operatorname {Cos} .\gamma '=0,\qquad$(67)

enfin, en éliminant de l’équation (61), au moyen des équations (62) et (63), deux quelconques des coordonnées $t,u,v$ et deux quelconques des coordonnées $t',u',v',$ les deux coordonnées restantes disparaîtront d’elles-mêmes, et il viendra

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y\operatorname {d} z}}\left(\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\beta '\right)\\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\gamma '\right)\\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} z^{2}}}\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\left(\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta '+\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\right)\end{aligned}}\right\}=0\,;\mathrm {(68)}$

or, ces cinq dernières équations cent exactement les mêmes que les équations (45), (46), (47), (48, (49), qui expriment que deux