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En outre, pour un point déterminé quelconque $(x',y',z')$ de la surface $S=0$, pour lequel on a conséquemment $S'=0,$ lesdirections des diamètres principaux du point de contact sont donnés par les intersections du plan tangent (6) avec les deux plans donnés (27) par l’équation unique

$\left\{{\begin{aligned}&\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}v-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}u\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}u+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}v\right)\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}t-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}v\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}v+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}t\right)\\\\&\left({\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}u-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}t\right)\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}v+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}t+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}u\right)\end{aligned}}\right\}=0.$ (50)

Enfin si ce point de contact est hyperbolique, les directions de ses asymptotes seront déterminées par les intersections du même plan tangent (6) avec les deux plans donnés (24) par l’équation unique

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}uv\\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}\tau \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}v^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu\end{aligned}}\right\}=0.\quad$(51)

On rendra ces deux derniers résultats propres au système de coordonnées primitifs, en y remplaçant $t,u,v$, par leurs valeurs $x-x',\ y-y',\ z-z',$ données par les formules (5).

Par l’un quelconque des points d’une surface courbe, on peut toujours concevoir, tracée sur cette surface, une courbe telle que sa tangente, en chacun de ses points, soit dirigée suivant l’un des