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$\left\{{\begin{aligned}&(Bv-Cu)(Dt+Ku+Hv)\\+&(Ct-Av)(Eu+Gv+Kt)\\+&(Au-Bt)(Fv+Ht+Gu)\end{aligned}}\right\}=0\,;\quad$(27)

équation commune à deux plans coupant le plan (10) suivant les diamètres principaux de la courbe donnée par les équations (10) et (11). Il est visible d’ailleurs que ces deux plans se coupent suivant une droite donnée par la double équation

${\frac {t}{A}}={\frac {u}{B}}={\frac {v}{C}},\qquad$(28)

perpendiculaire au plan (10) de la courbe et passant par son centre ; de manière qu’ils sont eux-mêmes perpendiculaires à ce plan.

Si, dans l’équation (11), on substitue pour $t,u,v$ leurs valeurs en $r$, données par la double équation (12), elle deviendra

$\left\{{\begin{aligned}&D\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +2G\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\+&E\operatorname {Cos} .^{2}\beta +2H\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\+&F\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2K\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \end{aligned}}\right\}r^{2}=L\,;\quad$(29)

de sorte que, si l’on substitue, tour à tour, dans cette dernière, pour $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma ,$ les doubles valeurs données par les équations (14), (16), (26), on obtiendra les deux valeurs de $r^{2}$ qui conviennent aux demi-diamètres principaux de la courbe. Donc aussi on obtiendra l’équation de laquelle dépendent ces deux valeurs de $r^{2},$ en éliminant ces trois cosinus entre les quatre équations (14), (16), (26), (29).

Mais, pour faciliter l’élimination, tâchons de remplacer les équations (16) et (29) par deux autres qui soient linéaires par rap-