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On sait que, dans une hyperbole, une seule asymptote fait la fonction de deux diamètres conjugués qui se confondent ; d’où il suit que, si l’on veut que le diamètre (12) soit une asymptote de la courbe supposée hyperbolique, il ne s’agira que de poser $\alpha '=\alpha ,\ \beta '=\beta ,\ \gamma '=\gamma \,;$ de sorte qu’on aura alors, pour déterminer $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ outre les équations (14) et (16), ce que devient l’équation (22) dans cette hypothèse, c’est-à-dire

$\left\{{\begin{aligned}&D\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +2G\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\+&E\operatorname {Cos} .^{2}\beta +2H\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\+&F\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2K\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \end{aligned}}\right\}=0\,;\quad$(23)

Si donc on substituait, tour à tour, dans la double équation (12), les doubles valeurs de $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ données par les équations (14), (16), (23), on obtiendrait ainsi les équations des deux asymptotes de la section supposée hyperbolique. Or, cela revient à éliminer $\operatorname {Cos} .\alpha ,\operatorname {Cos} .\beta ,\operatorname {Cos} .\gamma$ entre la double équation (12) et les trois autres ; ce qui peut se faire beaucoup plus simplement en substituant dans celles-ci les valeurs des trois cosinus tirées de l’autre, ce qui donnera, outre l’équation (10), l’équation

$Dt^{2}+Eu^{2}+Fv^{2}+2Guv+2H\tau +2Ktu=0,\qquad$(24)

qui, dans le cas d’une section hyperbolique, appartient ainsi au système de deux plans qui coupent le plan (10) suivant les asymptotes de la courbe.

Si l’on veut que les deux diamètres conjugués (12) et (13) soient rectangulaires ou principaux, il faudra aux cinq conditions déjà obtenues ajouter encore la suivante :

$\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '+\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '=0,\qquad$(25)