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et par le second une parallèle au diamètre (13) ; en désignant par $(t',u',v')$ le point de concours de ces deux droites, on devra avoir

${\frac {t'-a}{\operatorname {Cos} .\alpha }}={\frac {u'-b}{\operatorname {Cos} .\beta }}={\frac {v'-c}{\operatorname {Cos} .\gamma }}=r,\quad$(20)

${\frac {t'+a}{\operatorname {Cos} .\alpha '}}={\frac {u'+b}{\operatorname {Cos} .\beta '}}={\frac {v'+c}{\operatorname {Cos} .\gamma '}}=r'\,;\quad$(21)

et, pour que ces deux diamèîres soient conjugués l’un à l’untre, il faudra que le point$(t',u',v')$ vérifie l’équation (11),c'est-à-dire qu’il faudra qu’on ait

$Dt'^{2}+Eu'^{2}+Fv'^{2}+2Gu'v'+2Hv't'+2Kt'u'=L\,;$

équation qui, en lui retranchant l’équation (19), peut être mise sous cette forme

$\left\{{\begin{aligned}&D(t'-a)(t'+a)+G\left[(u'-b)(v'+c)+(v'-c)(u'+b)\right]\\+&E(u'-b)(u'+b)+H\left[(v'-c)(t'+a)+(t'-a)(v'+c)\right]\\+&F(v'-c)(v'+c)+K\left[(t'-a)(u'+b)+(u'-b)(t'+a)\right]\end{aligned}}\right\}=0.$

chassant alors de cette dernière équation deux quelconques des binomes $t'-a,\ u'-b,\ v'-c$ et deux quelconques des binomes $t'+a,\ u'+b,\ v'+c$ au moyen des relations (20), (21), les deux autres binomes en disparaîtront d’eux-mêmes et l’on aura pour la condition à joindre aux quatre déjà établies ; afin que les demi-diamètres (12), (13) soient conjugués l’un à l’autre

$\left\{{\begin{aligned}&D\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha '+G\left[\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma '+\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\beta '\right]\\+&E\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\beta '+H\left[\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha '+\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\gamma '\right]\\+&F\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\gamma '+K\left[\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta '+\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\alpha '\right]\end{aligned}}\right\}=0\,;\quad$(22)