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$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma =1,\quad$(14)

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha '+\operatorname {Cos} .^{2}\beta '+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma '=1,\quad$(15)

Si l’on veut, en outre, que ces deux demi-diamètres appartiennent à la courbe déterminée par les deux équations, il faudra qu’ils soient sur le plan (10), et que conséquemment leurs équations vérifient la sienne ; ce qui donnera encore

$A\operatorname {Cos} .\alpha +B\operatorname {Cos} .\beta +C\operatorname {Cos} .\gamma =0,\quad$(16)

$A\operatorname {Cos} .\alpha '+B\operatorname {Cos} .\beta '+C\operatorname {Cos} .\gamma '=0,\quad$(17)

et, tant que les six angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma '$ ne seront liésentre eux que par ces quatre relations, les deux demi-diamètres pourront être quelconques sur le plan de la courbe.

Cherchons présentement quelle nouvelle condition il faudra joindre à celles-là pour que ces deux demi-diamètres soient conjugués l’un à l’autre. Pour cela rappelons-nous que, dans toute ligne du second ordre, si de l’un quelconque des points de la courbe on mène aux deux extrémités d’un même diamètre quelconque deux cordes dites supplémentaires, les diamètres respectivement parallèles à ces cordes seront conjugués l’un à l’autre ; d’où il résulte qu’à l’inverse, si, menant par les extrémités d’un diamètre des parallèles respectives à deux autres diamèlres, ces parallèles se coupent sur la courbe, ces derniers seront conjugués l’un à l’autre.

Cela posé, soit $(a,b,c)$ l’une des extrémités de l’un quelconque des diamètres de la courbe donnée par les équations (10) et (11), de telle sorte qu’on ait, à la fois,

${\begin{array}{cr}Aa+Bb+Cc=0,&\mathrm {(18)} \\Da^{2}+Eb^{2}+Fc^{2}+2Gbc+2Hca+2Kab=L\,;&\mathrm {(19)} \end{array}}$

l’autre extrémité de ce diamètre sera $(-a,-b,-c)$ ; et, si l’on mène, par le premier de ces points, une parallèle au diamètre (12)