gent en un quelconque des points d’une surface quelconque, détermine, sur cette surface, une courbe plane qui tend de plus en plus à devenir une ligne du second ordre, à mesure que les deux plans sont plus voisins l’un de l’autre. Cette remarque est due à M. Ch. Dupin..
v. Bien que le point de contact d’une surface courbe avec son plan tangent soit une ligne du second ordre de dimensions infiniment petites, il n’en est pas moins du plus grand intérêt, pour les recherches dont nous aurons à nous occuper, de savoir la déterminer, pour chaque plan tangent, en particulier, d’en connaître la nature, la situation sur ce plan, les directions de ses diamètres conjugués ou principaux, ainsi que la direction deses asymptotes, si elle est hyperbolique. Arrêtons-nous donc, avant d’aller plus loin, à toutes ces diverses déterminations.
Mais, pour élargir un peu la question, et en même temps pour la simplifier, en nous débarrassant momentanément des notations différentielles, considérons les deux équations
dont la première est celle d’un plan, passant par l’origine des coordonnées, tandis que la seconde est celle d’une surface du second ordre qui y a son centre ; de sorte qu’elles représentent, par leur ensemble, une ligne du second ordre tracée sur ce plan, et ayant son centre au même point.
Soient deux deuil-diamètres de la surface (11), formant respectivement, avec les axes des des angles et et et leurs équations seront :
et on aura, comme l’on sait,
