Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/226

${\begin{array}{c}0={\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {t^{2}}{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}{\frac {tu}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}{\frac {u^{2}}{1.2}}+\ldots \\\\+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}{\frac {\tau }{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}{\frac {uv}{1.2}}\\\\+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}{\frac {v^{2}}{1.2}}\end{array}}$

Si l’on veut ne considérer seulement que ce qui se passe dans le voisinage de l’origine des $t,u,v$, c’est-à-dire, dans le voisinage du point $(x',y',z')$, on pourra faire abstraction, dans cette dernière équation, des termes de plus de deux dimensions en $t,u,v\,;$ de sorte qu’il sera rigoureusement vrai de dire que le point de contact de la surface (1) avec son plan tangent en $(x',y',z')$ ou, ce qui revient au même, de la surface (4) avec son plan tangent à l’origine des $t,u,v$ est donné par l’ensemble de l’équation (6) et de l’équation

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}t^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}uv\\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}u^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}\tau \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}v^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}tu\end{aligned}}\right\}=0\,;\quad$ (90)

or, cette dernière équation est celle d’une surface du second ordre, de dimensions infiniment petites, laquelle est coupée par le plan (6) suivant une ligne du second ordre, qui a elle-même des dimensions infiniment petites ; donc le point de contact d’une surface quelconque avec le plan tangent en un quelconque de ses points est une ligne du second ordre de dimensions infiniment petites ; ce qui revient encore à dire que le plan sécant parallèle au plan tan-