on peut mener à cette surface une infinité de tangentes différentes.
Pour obtenir l’équation du lieu géométrique de toutes ces tangentes, il ne s’agit que d’éliminer de l’équation (8), au moyen de la triple équation (7) ; ce qui, en supprimant le dénominateur , conduit de nouveau à l’équation (6) du plan tangent. Ainsi, les tangentes a une surface courbe, par un quelconque de ses points, sont toutes situées dans le plan tangent à cette surface en ce point ; et il est aisé de voir, qu’à l’inverse, toute droite menée dans le plan tangent à une surface courbe, par son point de contact avec cette surface, est une tangente à cette même surface en ce même point. Il en résulte encore que toute section plane faite dans une surface courbe, en un quelconque de ses points, a pour tangente en ce point l’intersection du plan sécant avec son plan tangent en ce même point. Et, comme deux droites issues d’un même point déterminant un plan, il s’ensuit que, si, par l’un quelconque des points d’une surface courbe, on conduit deux plans sécants à cette surface, et en outre, par le même point, des tangentes aux courbes planes que ces deux plans déterminant, le plan conduit par ces deux tangentes sera tangent à la surface courbe en ce point.
iv. Le plan tangent (6) à la surface (4) au point peut d’ailleurs couper cette surface, suivant une courbe plane ; et leurs points communs seront donnés par l’ensemble des équations de ce plan et de cette surface. On pourra d’ailleurs, dans la recherche de ces points communs, substituer à l’équation du plan tangent ou à celle de la surface courbe, telle combinaison on voudra faire de l’une et de l’autre, de manière cependant à n’en pas élever le degré. On pourra donc, en particulier, dans cette recherche, remplacer l’équation (4) par sa différence avec l’équation (6), et dire, en conséquence, que les points communs à la surface (4) et à son plan tangent sont donnés par la combinaison de l’équation (6) avec la suivante :
