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et exprimera les distances de l’origine aux différens points où la droite (7) perce la surface (4). Cette équation est d’abord satisfaite en posant $r=0$, comme on pouvait bien le prévoir, puisque la droite (7) passe par l’origine des $t,u,v$, qui est un point de cette surface. Les autres points communs à la droite (7) et à la surface (4) seront donnés par l’équation

$0=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\alpha \\\\+&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\beta \\\\+&{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\gamma \end{aligned}}\right\}+{\frac {1}{2}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\beta +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\\\+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \end{aligned}}\right\}r+\ldots$

Si donc on suppose les angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ indéterminés, et qu’on veuille profiter de leur indétermination pour faire en sorte qu’un second point commun vienne se confondre avec le premier, à l’origine des $t,u,v$, c’est-à-dire, au point $(x',y',z'),$ ilfaudra que le second membre de cette dernière équation devienne de nouveau divisible par $r\,;$ ce qui exigera qu’on ait

${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {Cos} .\alpha +{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {Cos} .\beta +{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {Cos} .\gamma =0\,;\qquad$(8)

alors la droite (7) sera dite tangente à la surface (4), à l’origine des $t,u,v$, c’est-à-dire, au point $(x',y',z')quiensera$ dit le point de contact avec elle ; et comme, outre l’équation (8), les trois constantes $\alpha ,\beta ,\gamma$ ne sont liées entre elles que par la seule équation

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +\operatorname {Cos} .^{2}\beta +\operatorname {Cos} .^{2}\gamma =1,$

il s’ensuit qu’elles demeurent encore indéterminées ; ce qui revient à dire que, par un même point quelconque d’une surface courbe,