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pour plus de simplicité, nous supposerons constamment rectangulaires, et soit $(x',y',z')$ un quelconque des points de cette surface, de telle sorte qu’on ait

$\operatorname {f} (x',y',z')=S'=0,\qquad$(2)

Pour transporter l’origine en ce point, en conservant aux axes leur direction primitive, il faudra faire, comme l’on sait,

$x=x'+t,\qquad y=y'+u,\qquad z=z'+v\,;\qquad$(3)

$t,u,v$ étant les symboles des nouvelles coordonnées. Or, cela revient évidemment à supposer que, dans (2), $x',y',z'$ se changent respectivement en $x'+t,\ y'+u,\ z'+v,$ ce qui donnera (tom. xx, pag. 260), en ayant d’ailleurs égard à cette même équation (2),

${\begin{alignedat}{2}0={\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}t&+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}u+&{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}{\frac {t^{2}}{1.2}}&+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}{\frac {tu}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}{\frac {u^{2}}{1.2}}+\ldots \mathrm {(4)} \\\\&+{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} z'}}v&&+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'\operatorname {d} x'}}{\frac {\tau }{1.2}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'\operatorname {d} z'}}{\frac {uv}{1.2}}\\\\&&+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} z'^{2}}}{\frac {v^{2}}{1.2}}\end{alignedat}}$

et telle sera conséquemment l’équation de la surface (1), rapportée aux nouveaux axes ; équation dans laquelle $x',y',z'$ sont trois constantes indéterminées, équivalentes à deux seulement, attendu qu’elles sont liées entre elles par la relation (2). On repassera d’ailleurs au système primitif au moyen des formules (3) qui donnent

$t=x-x',\qquad u=y-y',\qquad v=z-z'.\qquad$(5)

L’équation (4) peut être regardée comme fondamentale dans toutes les recherches qui vont suivre.