Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/22

$\left.{\begin{array}{c}S=0,\\{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}=0,\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x^{2}}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} y^{2}}}=0\,;\end{array}}\right\}\quad$(43)

il en résultera quatre équations, soit entre quantités connues, soit entre les coefficiens arbitraires. Dans le premier cas, il n’y aura des points triples qu’autant que ces équations seront toutes quatre identiques ; dans le second, si les coefficiens arbitraires ne sont pas en moindre nombre que celles de ces équations qui ne seront pas identiques d’elles-mêmes, ces équations exprimeront les relations cherchées. Dans tous les cas, deux quelconques des équations (43) feront connaître les coordonnées des points triples ; et la substitution des valeurs de ces coordonnées, à la place de $x'$ et $y',$ dans l’équation (40), fera connaître les tangentes aux diverses branches de la courbe qui se couperont en ces différens points.

On voit aisément par là ce qu’il y aurait à dire sur la recherche des points quadruples, et, en général, sur la recherche des points multiples, d’un ordre de multiplicité quelconque,

ix. Pour qu’une courbe $S_{1}=0$ passe par le point $(x',y')$, il faut qu’on ait $S'_{1}=0.$ Si l’on veut en outre que cette courbe ait, en ce point $(x',y'),$ la même tangente que la courbe (1) en ce point ; on voit (6) qu’il suffira pour cela qu’on ait

${\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}=\lambda {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}},\qquad {\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}=\lambda {\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\,;\qquad$(44)

$\lambda$ étant une constante quelconque.

Donc, en particulier, l’éçuation