Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/19

droites qui se confondent, ou un simple point, suivant que la fonction

$\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}.\qquad$(35)

est positive, nulle ou négative ; donc, dans les mêmes circonstances, la courbe, à l’origine des $t$ et $u$, se réduira rigoureusement à deux droites qui se couperont, à deux droites qui se confondront ou à un simple point ; c’est-à-dire qu’alors le point $(x',y')$ sera un point d’intersection ou de contact de deux branches de la courbe (1), ou un point isolé, lié analitiquement avec elle et compris dans son équation. Dans les deux premiers cas, l’équation (34), ou bien, en repassant au système primitif, au moyen des formules (5), l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}(x-x')^{2}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}(x-x')(y-y')+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}(y-y')^{2}=0,$ (36)

sera l’équation commune aux tangentes aux deux branches de la courbe au point $(x',y').$

On peut remarquer que, dans le cas où les équations (32) sont satisfaites, l’équation (8) est immédiatement divisible par $t^{2};$ et, qu’en ôtant ce diviseur et supposant ensuite $t$ nul, on a, pour déterminer $M,$ l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}+2{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}M+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}M^{2}=0\,;\qquad$(37)

de laquelle éliminant $M,$ au moyen de l’équation (7), on retombe exactement sur l’équation (34). En conséquence les points d’une courbe pour lesquels les équations (32) sont satisfaites, sont appelés des points doubles de cette courbe.

L’équation $S=0$ d’une courbe étant donnée ; si l’on veut sa-