Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/186

ANALYSE TRANSCENDANTE.

Notes sur quelques points d’analyse ;

Par M. Galais, élève à l’École normale.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

§. I.

Démonstration d’un théorème d’analyse.

Théorème. Soient $\operatorname {F} x$ et $\operatorname {f} x$ deux fonctions quelconques données ; on aura, quelsque soient $x$ et $h,$

${\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (k),$

$\varphi$ étant une fonction déterminée, et $k$ une quantité intermédiaire entre $x$ et $x+h.$

Démonstration. Posons, en effet

${\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=P\,;$

on en déduira

$\operatorname {F} (x+h)-P\operatorname {f} (x+h)=\operatorname {F} x-P\operatorname {f} x,$

d’où l’on voit que la fonction $\operatorname {F} x-P\operatorname {f} x$ ne change pas quand on y change $x$ en $x+h$ ; d’où, il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre $x$ et $x+h,$ un ou plusieurs maxima et minima. Soit $k$ la valeur de $x$ répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment

$k=\psi (P),$

$\psi$ étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi