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bres par $\psi (\alpha ,m)$ et j’intègre entre les limites $\alpha =0,\ \alpha =l.$ Le premier membre devient égal à une intégrale définie

$\int _{0}^{l}\Phi (\alpha )\psi (\alpha ,m)\operatorname {d} \alpha .$

Le second membre, en vertu des principes de l’art. xxvi, devient

$B_{m}.\int _{0}^{l}\psi (\alpha ,m)^{2}\operatorname {d} \alpha .$

Il se réduit au seul terme qui contient le coefficient $B_{m},$ et l’on a l’égalité

$B_{m}={\frac {\int _{0}^{l}\Phi (\alpha )\psi (\alpha ,m)\operatorname {d} \alpha }{\int _{0}^{l}\psi (\alpha ,m)^{2}\operatorname {d} \alpha }}.$

On a donc cette valeur de $u$,

$u=u_{0}+{\frac {1}{k}}\Sigma {\frac {e^{-mt}}{\int _{0}^{l}\psi (\alpha ,m)^{2}\operatorname {d} \alpha }}.\psi (x,m)\int _{0}^{l}\Phi (\alpha )\psi (\alpha ,m)\operatorname {d} \alpha \,;$

laquelle ne contient plus que des quantités connues et donne la température en un point quelconque de la barre, et pour une valeur arbitraire de $t$. On prouverait, comme à l’art. xx, que les valeurs de $m$ sont toutes réelles et positives.

xxviii. Ce mémoire, très-succint, n’est qu’un extrait de mes recherches sur la théorie de la chaleur. Je n’y ai point parlé de l’application de mes calculs à la sphère, ce qui est important pour le problème des températures terrestres, ni du cas où la barre rayonne librement à ses extrémités. J'ai passé rapidement sur les points secondaires. Plus tard je reviendrai sur ces questions, et je chercherai à résoudre les mêmes questions, en supposant aux corps leurs trois dimensions. Quant à l’art. v de mes recherches de 1830, lequel se rapportait aux questions primitives