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équation qui, devant être satisfaite quel que soit $t,$ donne cette expression générale

(e)$\qquad -m\nu _{m}=\operatorname {f} (x){\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu _{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}-\nu _{m}\operatorname {f} _{1}(x).$

Cette équation linéaire est d’une forme qui nous est bien connue.

Soient $\varphi (x,m),\psi (x,m)$ deux intégrales particulières ; et, comme à l’art. xiv, soit posé

$\nu _{m}=A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m),$

d’où

$\nu =\Sigma e^{-mt}\left[A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\right].$

Pour déterminer les valeurs de $m$, il faut recourir aux équations définies

$u=\theta$ pour $x=0,\qquad u=\theta '$ pour $x=l,$

et se rappeler en même temps que

$u={\frac {\nu }{k}}={\frac {1}{k}}\Sigma e^{-mt}\left[A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\right].$

En effet, ces conditions donnent, en nommant, $k_{0},k_{1},$ les valeurs de $k,$ pour les deux abscisses $0,l$.

${\begin{aligned}&{\frac {1}{k_{0}}}\Sigma e^{-mt}\left[A_{m}\varphi (0,m)+B_{m}\psi (0,m)\right]=\theta ,\\\\&{\frac {1}{k_{1}}}\Sigma e^{-mt}\left[A_{m}\varphi (l,m)+B_{m}\psi (l,m)\right]=\theta ',\end{aligned}}$

Ces conditions se simplifient à cause des valeurs de $\varphi (x,m)$ et de $\psi (x,m).$ En effet, l’équation (e) peut s’écrire ainsi