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et $\gamma$ le pouvoir rayonnant de la surface extérieure, exprimé en fonction de $x\,;$ on aura cette équation indéfinie

(a)$\qquad \omega {\frac {\operatorname {d} ^{2}ku}{\operatorname {d} x^{2}}}=\gamma \varepsilon .u,$

où $u$ désigne la température au point où l’abscisse est $x$, et qui suppose le milieu ambiant entretenu à $0^{\circ }.$ En posant

$u={\frac {\nu }{k}},\qquad {\frac {\varepsilon \gamma }{k\omega }}=\operatorname {f} (x),$

cette équation peut s’écrire ainsi

(b)$\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} x^{2}}}=\nu \operatorname {f} (x),$

Les constantes de l’intégrale se détermineront, par exemple, en admettant qu’aux extrémités $\mathrm {A,B}$ de la barre, les températures sont $\theta ,\theta '.$ Or, l’équation différentielle (b) est de même forme que celle relative à la première question du mémoire. Elle se traitera donc comme nous avons traité celle-là, et le nouveau problème sera résolu par les mêmes procédés que nous avons appliqués à l’autre.

Considérons deux barres de même longueur, mais de matières diverses. Admettons que, dans ces deux barres, $\varepsilon$ et $\omega$ soient les mêmes, ainsi que la fonction de l’abscisse qui exprime le rapport du pouvoir rayonnant à la conductibilité. L’équation (b) sera la même pour l’un et pour l’autre. Si de plus on entretient leurs extrémités à des températures qui différent de la première barre à la seconde, et en raison inverse de leurs conductibilités à ces limites données, les valeurs de $\nu$, pour ces deux points, seront égales de part et d’autre, et dès lors elles resteront les mêmes pour tous les autres points homologues des deux barres.