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mettre à part le terme $u_{0},$ qui répond à $m=0,$ et puis se rappeler qu’à l’article xix on a fait voir que $A_{m}=0,\ \psi (l',m)=0$ pour les autres valeurs de $m$. Il reste dès lors

$u=u_{0}+\Sigma B_{m}e^{-mt}\psi (x,m)\,;$

le signe $\Sigma$ s’étendant aux valeurs de $m$ données par $\psi (l',m)=0.$

Pour $t=0,\ u$ devient $\operatorname {F} (x).$ On pose (art. xvi) $\operatorname {F} (x)-u_{0}=P(x).$ Puis l’on a \Phi(x)=\Sigma $B_{m}\psi (x,m),$ d’où l’on déduit, par la méthode déjà exposée (art. xvi,xvii),

$B_{m}={\frac {\int _{0}^{l'}\Phi (\alpha )\psi (\alpha ,m)\operatorname {d} \alpha }{\int _{0}^{P}\psi (\alpha ,m)^{2}\operatorname {d} \alpha }}$

Or, quand il s’agit de prouver la convergence de la série $\Sigma B_{m}e^{-mt}\psi (x,m),$ il est permis d’abord de ne considérer que les termes de la suite infinie où $m$ est très-considérable ; ensuite de faire $t=0$ ; car, si la série est convergente, $t$ étant nul, à fortiori le sera-t-elle à un instant quelconque différent.

Posons

$m={\frac {a^{2}n^{2}\varpi ^{2}}{l'^{2}}}\,;$

$n$ désignant un nombre entier très-grand. Partons d’une valeur $n=n',$ puis faisons

$n=n'+1,\qquad n=n'+2,\qquad n=n'+3,\ldots \,;$

c’est à ces diverses valeurs de $n$ que répondront les grandes racines de l’équation $\psi (l',m)=0.$ Cela résulte de ce que, pour ces grandes racines, on a, ainsi qu’on l’a vu à l’art. xxii,

$\psi (l',m)={\frac {a\operatorname {Sin} .{\frac {l'{\sqrt {m}}}{a}}}{\sqrt {m}}},$