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toutes ses racines réelles et positives, ce qu’on savait déjà, par le théorème de l’article I.^er

L’analyse que nous venons d’employer conduit également à les calculer : nous n’insisterons pas sur ce point ; des considérations de ce genre n’ont aucune difficulté. Lorsque les racines sont petites, on les obtient par la méthode des approximations successives ; lorsqu’elles sont très-grandes, le nombre $n^{2}$ est très-grand lui-même ; on néglige $P_{m}$ et l’on a cette valeur très-approchée $m=n^{2}\varpi ^{2}\,;$ où $n$ est un nombre entier quelconque, mais suffisamment considérable.

xxii. À la fin de l’article xii, on a prouvé que la série qui exprime $\psi (x,m)$ est une série convergente. Nous ne reviendrons pas sur cette proposition qu’on peut démontrer par plus d’un moyen. De plus, quand les valeurs de $m$ sont très-grandes, on peut prouver que $\psi (x,m)$ est une très-petite quantité quel que soit $x.$ Eneffet, on a

$\psi (x,m)=x+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x$

$+{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x+\ldots$

Si $m$ est très-grand, négligeons $\operatorname {f} (x)$ par rapport à $m\,;$ il viendra

\psi(x,m)=x-

${\frac {1}{a^{2}}}.{\frac {mx^{3}}{1.2.3}}+{\frac {1}{a^{4}}}.{\frac {m^{2}x^{5}}{1.2.3.4.5}}-\ldots ={\frac {a\operatorname {Sin} .{\frac {x{\sqrt {m}}}{a}}}{\sqrt {m}}}.$

Or, ${\frac {a\operatorname {Sin} .{\frac {x{\sqrt {m}}}{a}}}{\sqrt {m}}}$ décroît indéfiniment à mesure que $m$ augmente.

xxiii. Je vais présentement démontrer la convergence de la suite qui exprime la valeur de $u$. Il faut reprendre l’expression

$u=\Sigma e^{-mt}\left[A_{m}\varphi (x,m)+B_{m}\psi (x,m)\right],$