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on aura, par suite :

$y=p_{0}-p_{1}+p_{2}-p_{3}+\ldots$

Si la valeur moyenne de $m-\operatorname {f} (x)$ est au-dessous de l’unité, les termes $p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ tendent à diminuer, à mesure que l’indice augmepte, 1.^o à cause de l’introduction du nouveau facteur $m-\operatorname {f} (x)$ ; 2.^o à cause de la double intégration ajoutée en passant de l’un quelconque d’entre eux au suivant. En adoptant donc cette hypothèse, on a

$p_{1}<p_{0},\qquad p_{3}<p_{2},\qquad p_{4}<p_{3},\ldots$

et par conséquent $y>0.$

Soit à présent $m-\operatorname {f} (x)$ supérieur à l’unité. L’introduction du facteur $m-\operatorname {f} (x)$ d’un terme $p_{n}$ au suivant $p_{n+1}$ tend à augmenter ce dernier que la double intégration diminue ; et, comme l’effet de cette diminution se produit d’autant mieux que $n$ est plus grand, on voit que les nombres successifs $p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ iront d’abord croissant avec les indices, atteindront un maximum puis décroîtront indéfiniment.

Cette idée a besoin d’être développée. On en sent sur-le-champ la justesse en regardant la fonction $\operatorname {f} (x)$ comme une constante égale à $P\,;$ car on a, dans cette hypothèse,

$p_{0}=1,\quad p_{1}={\frac {m-P}{1.2.3}},\quad p_{2}={\frac {(m-P)^{2}}{1.2.3.4.5}},\quad p_{3}={\frac {(m-P)^{3}}{1.2.3.4.5.6.7}},\ldots$

Et les rapports

${\frac {p_{1}}{p_{0}}},\quad {\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\frac {p_{3}}{p_{2}}},\quad {\frac {p_{4}}{p_{3}}},\ldots$

sont

${\frac {m-P}{2.3}},\quad {\frac {m-P}{4.5}},\quad {\frac {m-P}{6.7}},{\frac {m-P}{8.9}},\ldots$