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$y=l'+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x$

$+{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x+\ldots =0$

Je construirai la courbe représentée par celle égalité, où $m$ est l’abscisse et $y$ l’ordonnée. Cette courbe coupera l’axe des $m$ en un nombre infini de points, pour lesquels on aura $y=0$. C’est à ces points que répondent les valeurs que nous voulons considérer.

Or, la fonction $\operatorname {f} (x)$ est donnée de $x=0$ à $x=l'.$ C’est une quantité toujours positive, dont la plus grande et la plus petite valeurs sont des nombres finis $M,N.$ Ainsi la quantité $m$ croissant, à partir de zéro, finira par dépasser $\operatorname {f} (x).$ À cette époque, les divers termes de la valeur de $y$, qui d’abord étaient tous positifs, deviendront alternativement positifs et négatifs. Il en sera de même de l’ordonnée $y$ ; et c’est ainsi que l’équation $y=0$ possède un nombre infini de racines réelles. Voyons de quelle manière ces diverses quantités dépendent de $m$, et comment elles croissent et décroissent avec cette abscisse.

Par un choix convenable d’unités, on peut toujours faire en sorte que $l'=1$ et $a^{2}=1.$ Nous adopterons ces valeurs qui simplifient un peu les raisonnemens. Maintenant observons que $y$ ne peut être nul, tant que $\operatorname {f} (x)-m$ est positif. Prenons donc $m>\operatorname {f} (x),$ et voyons ce qui résulte de cette hypothèse. Nous poserons

${\begin{aligned}&p_{0}=1,\\&p_{1}=-\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x,\\\\&p_{2}=+\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x,\\\\&p_{3}=-\int _{0}^{1}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}x\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x,\end{aligned}}$

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