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Prenant alors les équations définies, $u=\theta ,$ pour $x=l=0\,;\ u=\theta ',$ ; pour $x=l'$ ; elles donnent

$\Sigma e^{-mt}.\left\{A_{m}\varphi (0,m)+B_{m}\psi (0,m)\right\}=\theta ,$

$\Sigma e^{-mt}.\left\{A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)\right\}=\theta '.$

Or, on a

$\varphi (0,m)=1,\qquad \psi (0,m)=0\,;$

les équations précédentes se réduisent donc à

$\Sigma e^{-mt}.A_{m}=\theta ,\qquad \Sigma e^{-mt}.\left\{A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)\right\}=\theta '.$

Elles doivent subsister quel que soit $t,$ en sorte qu’il y a une valeur de $m$ égale à zéro, à laquelle répondent les coefficiens

$A_{0}=\theta ,\qquad B_{0}={\frac {\theta '-\theta \varphi (l',0)}{\psi (l',0)}},$

ce qui détermine complètement le premier terme $u_{0}$ de la température. Les autres valeurs de $m$ sont en nombre infini. À ces valeurs répondent les égalités

$A_{m}=0,\qquad A_{m}\varphi (l',m)+B_{m}\psi (l',m)=0,$

lesquelles se réduisent à $\psi (l',m)=0.$ Ainsi donc c’est l’équation $\psi (l',m)=0.$ ou

$l'+{\frac {1}{a^{2}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x$

$+{\frac {1}{a^{4}}}\int _{0}^{l'}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\operatorname {d} x\int _{0}^{x}\left[\operatorname {f} (x)-m\right]x\operatorname {d} x+\ldots =0,$

qui détermine tous les nombres que $m$ représente. C’est cette équation qu’il faut discuter et dont il s’agit de trouver les racines.

xx. Je poserai