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est celle d’une courbe qui coupe la courbe (1) aux pieds de toutes les normales qui peuvent lui être menées du point $(a,b).$

L’équation

$a{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}-b{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad$(29)

est celle d’une courbe qui coupe la proposée aux pieds de toutes les normales qui peuvent lui être menées parallèlement à la drotie (20).

Si l’on veut mener, aux deux courbes (23), une normale commune, les points $(x',y'),\ (x'',y'')$, où se terminera la normale sur les deux courbes, seront donnés par les équations (24), combinées avec la double équation

${\frac {\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} y'}}x'-{\frac {\operatorname {d} S'_{1}}{\operatorname {d} x'}}y'}{{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} y''}}x''-{\frac {\operatorname {d} S''_{2}}{\operatorname {d} x''}}y''}}\,;\qquad$(30)

mais s’il s’agit d’une normale commune à deux branches de la courbe (1), les coordonnées des deux extrémités $(x,y),\ (x',y')$ de cette normale devront être déterminées par les quatre équations

$S=0,\quad S'=0,\quad {\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}}={\frac {\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}}={\frac {{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} y}}x-{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}y}{{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}x'-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}y'}}.\qquad$(31)

vii. Dans tout ce qui précède nous avons tacitement supposé que le point $(x',y')$ était quelconque sur la courbe (1) ; mais ce point pourrait être choisi de telle sorte, sur cette courbe, que ${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} x'}}$ et ${\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}$ fussent tous deux nuls ; ce qui, au surplus, ne saurait avoir lieu généralement, puisque $S'$ est déjà nulle, et que les trois équations