taine époque, se borner à la première exponentielle, dans la valeur de . On obtient alors
Dans cet état de la barre, qui précède immédiatement l’état permanent, les différences décroissent avec le temps, comme les termes d’une progression géométrique, ce qui est une propriété générale des lois du refroidissement.
xviii. Si la barre est limitée dans les deux sens, les deux longueurs et sont représentées par des nombres donnés. Si elle s’étend à l’infini du côté on a ; Enfin on doit poser dans l’hypothèse où la ligne est indéfinie dans les deux sens. C’est afin de pouvoir comprendre ce dernier cas dans notre formule que nous avons pris l’origine des abscisses dans une position tout à fait arbitraire, par rapport aux points et mais, en particularisant le lieu du point il est possible de simplifier beaucoup les calculs que nous avons indiqués dans les précédens articles. Cela est surtout utile pour la démonstration de divers théorèmes qui complètent la solution que nous avons donnée du problème qui fait le sujet de cet écrit, et qu’à la rigueur on peut regarder comme indispensables.
Nous ferons voir 1.o que l’équation d’où résultent les valeurs de a toutes ses racines réelles et positives ; 2.o nous prouverons que la série qui forme la valeur de est une série convergente, ce qui est nécessaire pour compléter la solution.
Les démonstrations de ces deux principes se déduisent de la méthode que nous avons exposée aux articles xii et xiii, pour l’intégration de l’équation linéaire du second ordre. Elles sont très-propres à faire connaître les avantages de ce procédé que nous avons omis dans le mémoire présenté, en 1829, à l’Académie des sciences.
