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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$\left\{\varphi (\alpha ,m)\psi (l,m)-\psi (\alpha ,m)\varphi (l,m)\right\}\operatorname {d} x,$

et j’intègre ensuite entre les limites $\alpha =l,\ \alpha =l'.$ Le premier membre devient égal à une intégrale définie

$\int _{l}^{l'}\left\{\varphi (\alpha ,m)\psi (l,m)-\psi (\alpha ,m)\varphi (l,m)\right\}\Phi (\alpha )\operatorname {d} x.$

Le second membre, en vertu des principes de l’art. xvi, se réduit à un seul terme, savoir : ${\frac {A_{m}\nu _{m}}{\psi (l,m)}}$ ; en sorte que

$A_{m}={\frac {\psi (l,m)}{\nu _{m}}}\int _{l}^{l'}\left\{\varphi (\alpha ,m)\psi (l,m)-\psi (\alpha ,m)\varphi (l,m)\right\}\Phi (\alpha )\operatorname {d} x\,;$

et l’équation suivante :

$u=u_{0}+\Sigma {\frac {e^{-mt}}{\nu _{m}}}\left\{\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m)\right\}\times$

$\int _{l}^{l'}\left\{\varphi (\alpha ,m)\psi (l,m)-\psi (\alpha ,m)\varphi (l,m)\right\}\Phi (\alpha )\operatorname {d} \alpha$

ne contenant plus que des quantités connues, donne la valeur de $u,$ pour un instant quelconque, en tel point qu’on veut de la barre, et résout, dans toute sa généralité le problème qui nous occupe. Cette valeur est composée de deux parties ; la première indépendante du temps, représente l’état permanent auquel la barre arrive enfin ; la seconde, dépendante à la fois du point et de l’instant que l’on considère, et tendant vers zéro à mesure que le temps augmente, répond à l’état variable. Ainsi, il y a dans la barre deux flux de chaleur bien distincts, qui suivent des lois différentes et qui, d’après leurs signes, s’ajoutent ou se retranchent pour former le flux total.

Lorsque la valeur de $t$ est devenue très-considérable, l’exponentielle $e^{-mt}$ est très-petite ; et si l’on considère les quantités $e^{-m_{1}t},e^{-m_{2}t},\ldots ,$ qu’on déduit de la première par les hypothèses $m=m_{1},\ m=m_{2},\ldots ,$ on voit quelles décroissent très rapidement à mesure que $m$ augmente. On peut donc, à une cer-