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${\begin{alignedat}{2}V_{m}&=\varphi (l',m)\psi (l',m)&-\psi (l',m)\ \varphi (l',m)\ &=0,\\V_{m}'&=\varphi (l',m')\psi (l',m')&-\psi (l',m')\varphi (l',m')&=0,\end{alignedat}}$

en vertu cîe l’équation (c) qui détermine les valeurs de $m$ et de $m'$. Ainsi l’on a $\int _{l}^{l'}V_{m}V_{m'}\operatorname {d} x=0,$ lorsque les racines $m$ et $m'$ différent entre elles. Mais si $m=m',$ le second membre se présente sous la forme ${\frac {0}{0}}.$ Sa vraie valeur est alors une quantité finie bien facile à trouver directement ou à déterminer par les règles ordinaires. On différentie, par rapport à $m$, le numérateur

$a^{2}\left(V_{m}{\frac {\operatorname {d} V_{m'}}{\operatorname {d} x}}-V_{m'}{\frac {\operatorname {d} V_{m}}{\operatorname {d} x}}\right),$

puis le dénominateur $m-m'.$ Ce dernier donne l’unité pour résultat ; le premier conduit à

$a^{2}\left({\frac {\operatorname {d} V_{m}}{\operatorname {d} m}}.{\frac {\operatorname {d} V_{m'}}{\operatorname {d} x}}-V_{m'}{\frac {\operatorname {d} ^{2}V_{m}}{\operatorname {d} x\operatorname {d} m}}\right).$

$V_{m'}$ est nul aux deux limites $x=l,\ x=l'.$ Soit donc représenté par $H'-H=\nu _{m}$ la quantité $a^{2}{\frac {\operatorname {d} V_{m}}{\operatorname {d} m}}.{\frac {\operatorname {d} V_{m'}}{\operatorname {d} x}}$ à ces valeurs extrêmes, et c’est la différence $H'-H=\nu _{m}$ qui sera le nombre cherché. Ainsi l’on aura

$\int _{l}^{\mu }V^{2}\operatorname {d} x=\nu _{m}.$

xvii. Revenons présentement à l’équation (d), c’est-à-dire à l’équation

$\Phi (x)=\Sigma {\frac {A_{m}}{\psi (l,m)}}\left\{\varphi (x,m)\psi (l,m)-\psi (x,m)\varphi (l,m)\right\}.$

J’y change $x$ en $\alpha$, ce qui est permis ; je multiplie ces deux membres par