Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/162

Le coefficient ${\frac {k}{c}}$ dépend tout à la fois de la chaleur spécifique de la barre et de sa conductibilité. C’est un nombre donné $a^{2}.$ La quantité ${\frac {\gamma \varepsilon }{c\omega }}$ est au contraire variable avec l’abscisse $x$, et c’est par la fonction $\operatorname {f} (x)$ que nous la supposerons représentée. L’équation du problème devient ainsi

(a)$\qquad {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=a^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}-u\operatorname {f} (x).$

Cette équation étant intégrée, les arbitraires que contiendra son intégrale se détermineront par ces conditions : 1.^o que les températures soient constamment $\theta ,\theta '$ aux extrémités de la barre. Soient $\mathrm {OA} =l,\mathrm {OB} =l',$ et l’on aura ces deux équations définies : $u=\theta$ pour $x=l,$ et $u=\theta '$ pour $x=l'$ ; 2.^o que, pour $t=0,$ à l’origine des temps, les températures de $x=l$ à $x=l'$ soient données par une fonction $\operatorname {F} (x)$ connue entre ces limites.

Pour intégrer l’équation (a), je fais usage de la méthode qui consiste à former l’intégrale complète d’un nombre infini d’intégrales particulières. Je développe en série la valeur de $u$, suivant les puissances de l’exponentielle $e^{-t},$ et nommants $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots u_{n},\ldots$ des fonctions de $x$ qui seront ci-après déterminées, je pose

$u=u_{0}+u_{1}e^{-m_{1}t}+u_{2}e^{-m_{2}t}+u_{3}e^{-m_{2}t}+\ldots +u_{n}e^{-m_{n}t}+\ldots \,;$

ou, par abréviation,

$u=\Sigma u_{m}e^{-mt}.$

Il vient, en différentiant cette valeur de $u$, par rapport à $t,$ et ensuite par rapport à $x$,

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=\Sigma u_{m}e^{-mt},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}=\Sigma e^{-mt}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}u_{m}}{\operatorname {d} x^{2}}}\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation (a), on obtient cette égalité