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$u_{x}=1+{\frac {z^{3}}{2.3}}+{\frac {z^{6}}{2.3.5.6}}+\ldots \,;$

$z$ étant égal à $1-x$ de $x=0$ à $x=1,$ et à $x-1$ de $x=1$ à $x=2$.

xii. Il n’entre pas dans notre plan de nous étendre davantage sur ces détails qui ne présentent aucune difficulté ; mais nous croyons devoir placer ici l’exposé rapide de quelques réflexions analitiques propres à éclaircir ce qui précède. Les développemens dans lesquels on vient d’entrer donnent, en résumé, une méthode générale pour intégrer, par approximation, l’équation linéaire du second ordre. L’approximation est poussée aussi loin qu’on veut. En augmentant à volonté le nombre des équations du premier degré, auxquelles se ramène la détermination des constantes, on s’approche indéfiniment de la valeur exacte cherchée. Une telle méthode paraît suffisante, dans l’état actuel de l’analyse, vu la difficulté de résoudre exactement la question.

Si l’on veut toutefois, on peut la traiter d’une manière plus directe. En considérant l’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}u}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {\varepsilon \operatorname {f} (x)}{K\omega }}u,$

on obtient, sans difficulté, une suite infinie qui y satisfait, et dont la convergence peut être prouvée dans le cas du problème qui nous occupe. Je compose la valeur de $u$ d’une suite de termes $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots$ qui seront déterminés plus tard.

Ainsi je fais

$u=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots$

Les quantités $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots$ devront être telles qu’on ait