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de sorte qu’en général on puisse représenter ainsi deux termes consécutifs

${\frac {2[2+3][2+3.2][2+3.3]\ldots [2+3(n-1)]}{1.2.3.4\ldots \left[4+3(n-1)\right]}}z^{4+3(n-1)},$

${\frac {2[2+3][2+3.2][2+3.3]\ldots \ldots [2+3(n-1)][2+3n]}{1.2.3.4\ldots \left[4+3(n-1)\right]\left[4+3n-2\right]\left[4+3n-1\right]\left[4+3n\right]}}z^{4+3n}.$

Les numérateurs des fractions qui multiplient $z^{4+3(n-1)}$ et $z^{4+3n}$ étant dénommés $P_{n-1},P_{n}$ sont assujétis à la condition

$P_{n}=(2+3n)P_{n-1},$

de laquelle on déduit, par la méthode de Laplace,

$P_{n}=C\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}.\alpha ^{n}.\operatorname {d} \alpha .$

Il nous vient donc

$u_{\mu }=C\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\alpha }{3}}}.\alpha ^{-{\frac {2}{3}}}.\left(z+{\frac {\alpha z^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {\alpha ^{2}z^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots \right)\operatorname {d} \alpha .$

Mais, si l’on pose

$\lambda =z+{\frac {\alpha z^{4}}{1.2.3.4}}+{\frac {\alpha ^{2}z^{7}}{1.2.3.4.5.6.7}}+\ldots ,$

on trouvera

${\frac {\operatorname {d} ^{3}\lambda }{\operatorname {d} x^{3}}}=\alpha \lambda ,$

d’où on déduira, par l’intégration,

$\lambda =C_{1}e^{z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+C_{2}e^{\rho z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}+C_{3}e^{\rho ^{2}z{\sqrt[{3}]{\alpha }}}\,;$