Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/133

duire à un de moins tant de nombres qu’on voudra, dont on aura à chercher le plus grand diviseur commun ; on pourra donc, de proche en proche, réduire ces nombres à deux seulement.

25. THÉORÈME. Le plus petit dividende commun à plusieurs nombres ne change pas lorsqu’on remplace deux quelconques d’entre eux par leur plus petit dividende commun.

Démonstration. Soient $g,h,k,\ldots t,u,v$ des nombres donnés ; il s’agit de prouver que, si $d$ est le plus petit dividende commun à $u$ et $v$, et que $\Delta$ soit le plus petit dividende commun à $g,h,k,\ldots t,d\,;\ \Delta$ sera aussi le plus petit dividende commun aux nombres proposés.

Soient, en effet, $U$ et $V$ les quotiens qu’on obtient en divisant $d$ par $u$ et $v$ ; ces quotiens seront (18) premiers entre eux, et l’on aura

$d=uU=vV.$

Soient, en outre, $G,H,K,\ldots T,D$ les quotiens qu’on obtient en divisant respectivement $\Delta$ par $g,h,k,\ldots t,d\,;$ ces quotiens seront également premiers entre eux, et l’on aura

$\Delta =gG=hH=kK=\ldots =tT=dD\,;$

de là on conclura

${\frac {\Delta }{g}}=G,\ {\frac {\Delta }{h}}=H,\ {\frac {\Delta }{k}}=K,\ldots {\frac {\Delta }{t}}=T,\ {\frac {\Delta }{u}}=UD,\ {\frac {\Delta }{v}}=VD\,;$

or aucun des facteurs premiers communs à $G,H,K,\ldots T,$ si toutefois il en existe de tels, ne pourra se trouver dans $D,$ qui est premier avec l’ensemble de ces nombres ; il ne pourra davantage se trouver dans $U$ et $V$ qui sont premiers entre eux ; donc, aucun de ces facteurs premiers ne pourra se trouver, à la fois, dans $UD$ et $VD$ ; donc, en divisant $\Delta$ par les nombres proposés, on obtient des quotiens premiers entre eux ; donc enfin (21) $\Delta$ est, comme nous l’avions annoncé, le plus petit dividende commun à tous ces nombres.