des donne des quotiens premiers entre eux, celui-là sera nécessairement le plus petit des deux.
Démonstration. Soient et deux dividendes communs aux nombres qui, divisant le premier, donnent les quotiens respectifs et qui, divisant le second, donnent les quotiens respectifs il en résultera
et, par suite,
d’où l’on voit d’abord que les produits doivent être tous divisibles par et doivent conséquemment contenir toutes les sortes de facteurs premiers de et au moins en même nombre que dans pour chaque sorte.
Mais si les quotiens sont premiers entre eux, aucun des facteurs premiers de ne pourra se trouver à la fois dans tous ces quotiens ; afin donc que les produits soient tous divisibles par il faudra que toutes les sortes de facteurs premiers de se trouvent dans et au moins en même nombre pour chaque sorte, ce qui donnera comme nous lavions annoncé.
20. Donc deux dividendes communs à plusieurs nombres ne sauraient donner l’un et l’autre des quotiens premiers entre eux, car, s’il en était ainsi, on pourrait prouver du plus grand de ces dividendes qu’il est plus petit que l’autre.
21. Donc si, en divisant par plusieurs nombres un de leurs dividendes communs, on obtient des quotiens premiers entre eux, ce dividende commun sera le plus petit de tous, car, s’il ne l’était pas, le plus petit dividende commun donnerait aussi (18) des
