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un de leurs dividendes communs, les quotiens ne sont pas premiers entre eux, ces nombres auront au moins un autre dividende commun, plus petit que celui-là.

Démonstration. Soit $D$ un dividende commun aux nombres $g,h,k,\ldots t,u,v,$ qui, divisant ce dividende, donnent les quotiens non premiers entre eux $G\Delta ,H\Delta ,K\Delta ,\ldots T\Delta ,U\Delta ,V\Delta \,;$ on aura ainsi

D=gG\Delta =hH\Delta =kK\Delta =\ldots =tT\Delta =uU\Delta =vV\Delta \,;

or, si l’on pose ${\frac {D}{\Delta }}=d<D,$ on tirera de là

d=gG=hH=kK=\ldots =tT=uU=vV\,;

d’où l’on voit que $d<D$ sera un autre dividende commun, comme nous l’avions annoncé.

18. Donc, si l’on divise par plusieurs nombres donnés leur plus petit dividende commun^[1], on obtiendra des quotiens premiers entre eux, car, s’il en était autrement, on prouverait (17) qu’il existe un autre dividende commun plus petit que celui-là.

19. THÉORÈME. Si, en divisant tour à tour par plusieurs nombres donnés deux de leurs dividendes communs, l’un de ces dividen-

↑ Dans la tradaction de l’ouvrage de M. Gauss, mentionné plus haut, j’avais hasardé de remplacer ces périphrases un peu longues : plus grand diviseur commun, plus petit dividende commun, par ces autres périphrases un peu plus courtes et tout aussi expressives : diviseur maxime, dividende minime. J’étais jeune alors, et je croyais qu’il suffisait à une innovation que l’on proposait d’être raisonnable pour la voir aussitôt accueillie. L’âge et l’expérience ne m’ont que trop bien appris depuis que ce n’est pas du fond d’une province qu’on peut tenter d’opérer des réformes, et qu’il faut absolument habiter la capitale pour oser innover avec quelque chance de succès, ne fusse même que sur la figure des virgules. Plus timide encore que moi, M. Delisle a traduit l’expression minimus communis dividuus de {{Gauss}} par cette longue périphrase : plus petit nombre divisible, à la fois, par, etc.

[1] Dans la tradaction de l’ouvrage de M. Gauss, mentionné plus haut, j’avais hasardé de remplacer ces périphrases un peu longues : plus grand diviseur commun, plus petit dividende commun, par ces autres périphrases un peu plus courtes et tout aussi expressives : diviseur maxime, dividende minime. J’étais jeune alors, et je croyais qu’il suffisait à une innovation que l’on proposait d’être raisonnable pour la voir aussitôt accueillie. L’âge et l’expérience ne m’ont que trop bien appris depuis que ce n’est pas du fond d’une province qu’on peut tenter d’opérer des réformes, et qu’il faut absolument habiter la capitale pour oser innover avec quelque chance de succès, ne fusse même que sur la figure des virgules. Plus timide encore que moi, M. Delisle a traduit l’expression minimus communis dividuus de {{Gauss}} par cette longue périphrase : plus petit nombre divisible, à la fois, par, etc.

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