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Démonstration. Soient $d$ et $d'$ deux diviseurs communs aux nombres $G,H,K,\ldots T,U,V\,;$ supposons qu’en les divisant par $d$ on obtienne les quotiens respectifs $g,h,k,\ldots t,u,v,$ et qu’en les divisant par $d'$ on obtienne les quotiens respectifs $g',h',k',\ldots t',u',v'\,;$ il en résultera

$G=gd=g'd',\ H=hd=h'd',\ K=kd=k'd',\ldots$

$T=td=t'd',\ U=ud=u'd',\ V=vd=v'd',$

et par suite

${\frac {gd}{d'}}=g',\ {\frac {hd}{d'}}=h',\ {\frac {kd}{d'}}=k',\ldots {\frac {td}{d'}}=t',\ {\frac {ud}{d'}}=u',\ {\frac {vd}{d'}}=v'\,;$

d’où l’on voit d’abord que les produits $gd,hd,kd,\ldots td,ud,vd,$ doivent être tous divisibles par $d',$ et doivent conséquemment contenir toutes les sortes de facteurs premiers de $d',$ et au moins en même nombre que dans $d',$ pour chaque sorte.

Mais si les quotiens $g,h,k,\ldots t,u,v$ sont premiers entre eux, aucun des facteurs premiers de $d'$ ne pourra se trouver à la fois dans tous ces quotiens ; afin donc que les produits $gd,hd,kd,\ldots td,ud,vd$ soient tous divisibles par $d',$ il faudra que toutes les sortes de facteurs premiers de $d'$ se trouvent dans $d$ et au moins en même nombre pour chaque sorte, ce qui donnera $d>d',$ comme nous nous l’avions annoncé. On voit en outre que $d$ est multiple de $d'.$

14. Donc, deux diviseurs communs à plusieurs nombres ne sauraient donner, l’un et l’autre, des quotiens premiers entre eux, car, s’il en était ainsi, on pourrait prouver du plus petit de ces diviseurs qu’il est plus grand que l’autre.

15. Donc si, en divisant plusieurs nombres par un de leurs diviseurs communs, on obtient des quoiiens premiers entre eux, ce diviseur commun sera le plus grand de tous, car, s’il ne l’était pas, le plus grand diviseur commun donnerait aussi (12) des quotiens premiers entre eux ; ce qui est impossible par ce qui précède.

17. THÉORÈME. Si, en divisant par plusieurs nombres donnés