ce qui revient à dire que la tangente à un point d’inflexion d’une courbe peut être considérée comme ayant, avec cette courbe, trois poids communs qui se confondent en un seul.
Veut-on savoir si une courbe proposée a des points d’inflexion et en assigner la situation, sur la courbe, Il ne s’agira, pour cela, que d’éliminer et entre les équations (13) et l’équation (2) ; on obtiendra ainsi deux équations entre quantités connues, lesquelles ne pourront être qu’identiques ou absurdes ; si elles sont toutes deux identiques, la courbe aura un ou plusieurs points d’inflexion, dont la situation sera fixée par les systèmes de valeurs de et tirées de deux quelconques de ces quatre équations ; mais si une seule des équations entre quantités connues est absurde, et, à plus forte raison, si elles le sont toutes deux, on devra en conclure que la courbe n’a aucun point d’inflexion.
On se comporterait exactement de la même manière si, l’équation d’une courbe contenant des coefficiens indéterminés, au nombre de deux au moins, on voulait profiter de leur indétermination pour faire acquérir à la courbe un ou plusieurs points d’inflexion. Seulement les deux équations auxquelles on parviendrait ne seraient proprement ni identiques ni absurdes ; ce serait des équations de condition, exprimant les relations que devraient avoir entre eux les coefficiens indéterminés pour que de tels points existassent. Ces relations ainsi admises, la situation des points d’inflexion se déterminerait comme il vient d’être dit ci-dessus.
En raisonnant d’une manière analogue, on parviendra facilement à démontrer que si, pour l’un des points d’une courbe, outre les équations (13), on a encore
la courbe sera toute située d’un même côté de sa tangente en ce point, laquelle conséquemment la touchera en ce même
