Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1830-1831, Tome 21.djvu/113

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$x+{\frac {1}{x}}=y,\quad$d’où$\quad x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=y^{2}-2\,;$

il viendra, en substituant,

$y^{2}+y-1=0,$

d’où on tirera

$y-2={\frac {-5\pm {\sqrt {5}}}{2}},\qquad y+2={\frac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}},$

et par suite

$y^{2}-4=(y-2)(y+2)={\frac {-5\mp {\sqrt {5}}}{2}}\,;$

mais l’équation de relation entre $x$ et $y$ donne

$x={\frac {y\pm {\sqrt {y^{2}-4}}}{2}}\,;$

en substituant donc pour $y$ et $y^{2}-4$ leurs valeurs, on trouvera finalement, pour les cinq racines de la proposée,

$x=+1,\quad {\begin{aligned}&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(-1+{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(-1-{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\}\,;\end{aligned}}$

les cinq racines de l’autre équation seront donc (4)

$x=-1,\quad {\begin{aligned}&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(1-{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\},\\\\&x={\frac {1}{4}}\left\{\left(1+{\sqrt {5}}\right)\pm {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}.{\sqrt {-1}}\right\}.\end{aligned}}$

12. Soit $m=6\,;$ les équations à résoudre seront

$x^{6}-1=0,\qquad x^{6}+1=0\,;$

la première revient à