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en pouvait avoir $x^{p}=x^{q},$ avec $q<p$ et $p<m,$ il en résulterait $\alpha ^{p-q}=1,$ avec la condition $p-q<m,$ et, comme on a aussi $\alpha ^{m}=1,$ il s’ensuivrait que les équations

$x^{m}-1=0,\qquad x^{p-q}-1=0,$

devrait avoir une racine commune, autre que l’unité, et conséquemment un facteur commun différent de $x-1,$ ce qui est impossible, lorsque $m$ est premier et qu’on a $p-q<m.$

6. Si $m$ est le produit de deux facteurs premiers $a$ et $b$ et que $\alpha$ et $\beta$ soient respectivement des racines des équations

$x^{a}-1=0,\qquad x^{b}-1=0,$

différentes de l’unité ; les racines de l’équation $x^{m}-1=0$ seront tous les termes du produit

$\left(1+\alpha +\alpha ^{2}+\ldots +\alpha ^{a-1}\right)\left(1+\beta +\beta ^{2}+\ldots +\beta ^{b-1}\right).$

En effet, d’abord, ces termes seront au nombre de $ab=m$ ; en second lieu, ils seront tous inégaux ; enfin un quelconque des termes de ce produit étant de la forme $\alpha ^{p}\beta ^{q}$ ; comme on a (5)

$\left(\alpha ^{p}\right)^{a}=\alpha ^{pa}=1,\qquad \left(\beta ^{q}\right)^{b}=\beta ^{qb}=1,$

on aura aussi

$\alpha ^{pab}=1,\qquad \beta ^{qab}=1,$

d’où, en multipliant

$\alpha ^{pab}.\beta ^{qab}=\left(\alpha ^{p}.\beta ^{q}\right)^{ab}=\left(\alpha ^{p}.\beta ^{q}\right)^{m}=1,$

ce qui prouve que $\alpha ^{p}.\beta ^{q}$ est racine de l’équation.

En raisonnant de la même manière il sera facile de prouver que, généralement, si l’on a $m=a.b.c\ldots ,\ a,b,c,\ldots$ étant des nombres premiers tous différens les uns des autres, et que $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient respectivement des racines des équations

$x^{a}-1=0,\qquad x^{b}-1=0,\qquad x^{c}-1=0,\ldots$