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pour que cet arc soit entièrement situé d’un même côté de cetie tangente. La tangente à une courbe, en un quelconque de ses points, touche donc la courbe sans la couper en ce point.

Nous disons en un quelconque de ses points, car, si l’origine des $t$ et $u,$ ou le point $(x',y'),$ était tellement choisi sur la courbe, qu’on eût, à la fois,

{\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'^{2}}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'}}=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}S'}{\operatorname {d} y'^{2}}}=0,\qquad

(13)

ce qui ne saurait, au surplus, avoir généralement lieu, puisque ces trois équations sont déjà généralement incompatibles, et qu’il faut y joindre encore l’équation (2) $S'=0\,;$ l’équation (12) devenant alors

-{\frac {\operatorname {d} S'}{\operatorname {d} y'}}\left(u-u_{1}\right)=

{\frac {1}{1.2.3}}\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{3}}}t^{3}+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'^{2}\operatorname {d} y'}}t^{2}u+3{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} x'\operatorname {d} y'^{2}}}tu^{2}+{\frac {\operatorname {d} ^{3}S'}{\operatorname {d} y'^{3}}}u^{3}\right)+\ldots \,;\mathrm {(14)}

comme on pourrait toujours prendre $t$ et $u$ assez petits, sans être nuls, pour ne faire dépendre le signe de tout le second membre que du signe de l’ensemble de ses termes de trois dimensions, lequel change, en passant d’un côté à l’autre de l’origine des $t$ et $u,$ il s’ensuit qu’alors on pourrait toujours prendre un arc de la courbe, étendant assez peu de part et d’autre du point de contact de la tangente, pour qu’en passant d’un côté à l’autre de ce point, $u-u_{1}$ changeant de signe ; ce qui revient à dire que les deux parties de cet arc, déterminées par le point de contact, se trouveraient alors situées de différens côtés de la tangente qui, de la sorte, toucherait et couperait la courbe en ce point. Un tel point d’une courbe est ce qu’on appelle un point d’inflexion.

Dans la même hypothèse, en posant l’équation (10), l’équation (9) deviendrait divisible par $t^{2}\,;$ il y aurait donc alors, outre l’origine des $t$ et $u$ , deux autres points communs à la droite (6) et à la courbe (4) qui viendraient se confondre avec celui-là ;