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au moyen de cette formule générale, et en observant que, pour le premier terme de notre série de racines, on a $a=-1$ et $b=0$, tandis que, pour le second, on a $a=0$ et $b=1,$ on trouvera successivement

${\begin{aligned}&{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}\\\\&{\sqrt[{4}]{-1}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}.{\sqrt {-1}}\right),\\\\&{\sqrt[{8}]{-1}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\\\&{\sqrt[{16}]{-1}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}.{\sqrt {-1}}\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

au moyen de ces résultats, nous n’avons plus à nous occuper que de la recherche des racines de l’équation

${\displaystyle }$

5. Si $\alpha$ est une racine de cette équation $\alpha ^{p}$, en £tfra une aussi ; quel que soit le nombre entier positif $p$. En effet, à cause que $\alpha$ est racine

$\alpha ^{m}=1,\quad$d’où$\quad \alpha ^{mp}=\left(\alpha ^{p}\right)^{m}=1\quad$et$\quad \left(\alpha ^{p}\right)^{m}-1=0,$

ce qui prouve la proposition annoncée.

Si, de plus, $m$ est un nombre premier, et que $\alpha$ soit différent de l’unité, la totalité des racines de la proposée sera

$\alpha ,\alpha ^{2},\ \alpha ^{3},\ \alpha ^{4},\ldots \alpha ^{m}.$

En effet, d’abord, par ce qui précède, chaque terme de cette suite sera une racine de l’équation dont il s’agit ; en outre elle pe pourra renfermer deux termes égaux ; car si, par exemple,