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4. Lorsque $m$ est un nombre impair, les racines des deux équations

$x^{m}-1=0,\qquad x^{m}+1=0,$

ne différent uniquement les unes des autres que par le signe : car alors on peut passer d’une équation à l’autre, en changeant simplement $x$ en $-x.$

Si $m$ est un nombre impairement pair, les racines de l’une de ces équations ne seront que les racines de l’autre multipliées par ${\sqrt {-1}}\,;$ car alors on passera d’une équation à l’autre par le simple changement de $x$ en $x{\sqrt {-1}}.$

Si $m$ est un nombre pair de la forme $4(2n+1),$ les racines de l’une des équations ne différeront de celles de l’autre que par le facteur ${\sqrt[{4}]{-1}}$ : car alors le passage d’une équation à l’autre pourra s’opérer par le simple changement de $x$ en $x{\sqrt[{4}]{-1}}.$

Généralement, si $m$ est un nombre pair de la forme

$2^{k}(2n+1),$

les racines de la seconde équation se déduiront de celles de la première, en multipliant celles-ci par ${\sqrt[{2k}]{-1}}$ ; car alors la première équation devient la seconde en y changeant simplement $x$ en $x{\sqrt[{2k}]{-1}}.$

Le premier pas à faire dans la recherche qui nous occupe est donc de savoir d’abord ce que valent les multiplicateurs successifs -1,\quad

${\sqrt {-1}},\quad {\sqrt[{4}]{-1}},\quad {\sqrt[{8}]{-1}},\quad {\sqrt[{16}]{-1}},\ldots {\sqrt[{2k}]{-1}},\ldots$

Pour y parvenir, remarquons d’abord que chacun d’eux étant la racine quarrée du précédent, tout se réduit à savoir passer de ${\sqrt[{2k}]{-1}}$ à ${\sqrt[{2k+1}]{-1}}.$