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des angles respectivement doubles des angles $\mathrm {OBA',OCB',OAC',}$ c’est-à-dire, mesurant respectivement les angles $\mathrm {B,C,A}$ du triangle dont il s’agit. Puis donc que ces trois angles sont mesurés par une demi-circonférence, il s’ensuit que les trois droites $\mathrm {OA',OB',OC',}$ portées consécutivement comme cordes sur l’une de nos trois circonférences, se trouveront en embrasser la moitié. Ainsi, le rayon du cercle cherché est le diamètre d’un cercle dans la moitié duquel peuvent être inscrites les trois longueurs données. On pourra donc, par le problème de Newton, assigner la longueur du rayon du cercle circonscrit au triangle dont il s’agit ; et dès lors la détermination des longueurs de ses côtés n’offrira plus aucune difficulté.

2.^o Soit, en second lieu, $\mathrm {O}$ le centre du cercle inscrit à un triangle $\mathrm {ABC}$ ; soient données les trois longueurs $\mathrm {OA,OB,OC,}$ et qu’il soit question de déterminer le rayon du cercle.

Soient $\mathrm {A',B',C'}$ les points de contact respectifs de ce cercle avec les côtés $\mathrm {BC,CA,AB}$ du triangle ; soient menées $\mathrm {B'C',C'A',A'B',}$ coupant respectivement $\mathrm {OA,OB,OC,}$ en $\mathrm {A'',B'',C''.}$ Si, sur $\mathrm {OA',OB',OC',}$ pris tour à tour pour diamètres, on décrit trois cercles, ces cercles se couperont deux à deux aux points $\mathrm {A'',B'',C''} \,;$ et $\mathrm {OA'',OB'',OC''}$ seront les longueurs de trois cordes de l’un d’eux, dont les arcs composeront entre eux la moitié de sa circonférence.

Cela posé, soient faits

$\mathrm {OA} =a,\quad \mathrm {OB} =b,\quad \mathrm {OC} =c,\quad \mathrm {OA'=OB'=OC'} =r\,;$

il en résultera

$\mathrm {OA''={\frac {{\overline {OB'}}^{2}}{OA}}} ={\frac {r^{2}}{a}},\quad \mathrm {OB''={\frac {{\overline {OC'}}^{2}}{OB}}} ={\frac {r^{2}}{b}},\quad \mathrm {OC''={\frac {{\overline {OA'}}^{2}}{OC}}} ={\frac {r^{2}}{c}}\,;$

or, puisque les trois cordes